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Cours d'analyse fonctionnelle
Du 28 octobre 2025 au 31 décembre 2025
COURS ANALYSE FONCTIONNELLE ET NUMERIQUE DES EDP
Cédric Pozzolini
expert mathématicien attaché à la direction scientifique de Framatome
cedric.pozzolini@framatome.com
cedric.pozzolini@framatome.com
Le but de ce cours est d’introduire les espaces fonctionnels et les outils d’analyse
nécessaires pouvoir faire la formulation variationnelle et justifier d’une approximation
correcte pour des EDP issues de problèmes de mécanique linéaire d’abord puis de plus
en plus non linéaires. Il s’adresse à un public d’étudiants de Master ou doctorat ayant les
bases d’algèbre linéaire, de calcul différentiel, et préférentiellement avec quelques
notions de mécanique des milieux continus élastiques. Nous passerons du temps à
étudier les questions d’existence et d’unité ou de multiplicité de solutions d’EDP
linéaires, semi-linéaires et quasi-linéaire, puis quelques cas d’inéquation variationnelles
en utilisant les espaces ad hoc. Nous aborderons la méthode des éléments finis et
étudierons quelques schémas temporels. Parmi les EDP que nous aborderons, nous
pouvons citer : les équations des poutres, des barres, membranes, plaques, les
équations de Burger, KdV, le problème du flambage d’un tube, les équations des fissures
planes, et de l’élastodynamique, pour finir avec les difficiles problèmes de contact sans
puis avec frottement de Tresca et de Coulomb.
La première séance aura lieu le 3 novembre 2025, et la dernière le 28 juin 2026.nécessaires pouvoir faire la formulation variationnelle et justifier d’une approximation
correcte pour des EDP issues de problèmes de mécanique linéaire d’abord puis de plus
en plus non linéaires. Il s’adresse à un public d’étudiants de Master ou doctorat ayant les
bases d’algèbre linéaire, de calcul différentiel, et préférentiellement avec quelques
notions de mécanique des milieux continus élastiques. Nous passerons du temps à
étudier les questions d’existence et d’unité ou de multiplicité de solutions d’EDP
linéaires, semi-linéaires et quasi-linéaire, puis quelques cas d’inéquation variationnelles
en utilisant les espaces ad hoc. Nous aborderons la méthode des éléments finis et
étudierons quelques schémas temporels. Parmi les EDP que nous aborderons, nous
pouvons citer : les équations des poutres, des barres, membranes, plaques, les
équations de Burger, KdV, le problème du flambage d’un tube, les équations des fissures
planes, et de l’élastodynamique, pour finir avec les difficiles problèmes de contact sans
puis avec frottement de Tresca et de Coulomb.
Lieu : campus de la doua, et visio-conférence via MTEAM, lundi 14h30 -17h30
Module 1 (24h) : Espaces de Lesbesgue et de Sobolev, topologie faible hilbertienne
Cours 1 : théorie de la mesure de Borel-Lebesgue-Dirac, construction de l’intégrale de
Lebesgue
Cours 2 : théorèmes de convergence, et techniques de calculs intégral et espaces Lp
Cours 3 : Espaces de Banach, point fixe, exemples dans Lp
Cours 4 : Espaces de Hilbert, Théorème de Lax-Milgram dans un espace de Hilbert,
formulation variationnelle dans l’espace de Sobolev H1(S) avec S segment
Cours 5 : Espaces de Hilbert, projection orthogonale et théorème de Stampacchia
exemples des Sobolev Hp(Ω) =W2,p(Ω),Espaces de Sobolev Wn,p(Ω), injections et
traces
Cours 6 : topologies faibles dans les espaces de hilbert (intro)
Cours 7 : topologies faibles dans les espaces de hilbert (suite)
Cours 8 : topologies faibles dans les espaces de hilbert (fin)
Module 2 (24h) : Espaces de Banach, topologie faible, théorie de Grisvard, MEF
Cours 1 : topologies faibles dans les espaces de banach (intro)
Cours 2 : topologies faibles dans les espaces de banach (suite)
Cours 3 : topologies faibles dans les espaces de banach (fin)
Cours 4 : théorie de Grisvard et espaces de sobolev fractionnaires (intro)
Cours 5 : théorie de Grisvard et espaces de sobolev fractionnaires (suite)
Cours 6 : théorie de Grisvard et espaces de sobolev fractionnaires (fin)
Cours 7 : Problèmes elliptiques linéaires : élasticité linéaire et méthodes des éléments
finis (intro)
Cours 8 : Problèmes elliptiques linéaires : élasticité linéaire et méthodes des éléments
finis (suite et fin)
Module 3 (30h) : Théorie des distributions appliquées à la Mécanique des milieux
continus
Cours 1 : Introductions à la théorie des Distributions de Schwartz (intro)
Cours 2 : Introductions à la théorie des Distributions de Schwartz (suite)
Cours 3 : Introductions à la théorie des Distributions de Schwartz (fin)
Cours 4 : Problèmes paraboliques linéaires, modèle de l’équation de chaleur
instationnaire (intro)
Cours 5 : Problèmes paraboliques linéaires, modèle de l’équation de chaleur
instationnaire (suite et fin)
Cours 6 : Problèmes hyperboliques linéaires : Equations des ondes et de l’elasto-
dynamique (intro)
Cours 7 : Problèmes hyperboliques linéaires : Equations des ondes et de l’elasto-
dynamique (suite et fin)
Cours 8 : Problèmes hyperboliques linéaires : Equations de la visco-elasto-dynamique (
fin)
Cours 9 : intégration numériques et schémas en temps (intro)
Cours 10 : intégration numériques et schémas en temps (suite et fin)
Module 4 (24h) : Théorie de la mécanique de contact
Cours 1 : dualité convexe et mécanique du contact/ élastoplasticité (intro)
Cours 2 : dualité convexe et mécanique du contact/ élastoplasticité (suite)
Cours 3 : dualité convexe et mécanique du contact/ élastoplasticité (fin)
Cours 4 : Espaces BV et mécanique du contact/ élastoplasticité (intro)
Cours 5 : Espaces BV et mécanique du contact/ élastoplasticité (suite et fin)
Cours 6 : Inéquations variationnelles, problème de Tresca et de Signorini (intro)
Cours 7 : Inéquations variationnelles, problème de Tresca et de Signorini (suite)
Cours 8 : Inéquations variationnelles, problème de Tresca et de Signorini (fin)
